A matemática é empirica, como toda a ciência.

A matemática é empirica. Não surge do nada das nossas mentes, surge como abstração do mundo empirico. E é o na sua origem e em muitos aspectos do seu desenvolvimento.

E o uso dos axiomas em formulação de sistemas formais variados é posto à prova, experimentando. Conforme funcionam ou não.

Claro que depois, descobrem-se regras que depois podem ser provadas, em teoremas, dentro desses sistemas e recorrendo ao que já se sabe.  Mas repito, isso é dentro desses sistemas, depois de escolhidos os axiomas.

Também no resto da ciencia não temos de continuar sempre a testar se o universo ainda é como era. Esse problema está em stand-by até sugestão em contrário.

E sistemas axiomaticos há infinitos. É realmente a gosto conforme se decide o que vão ser os axiomas. Mas nem todos servem para alguma coisa ou funcionam. Na practica, a matemática é bem empirica.

Isso é cada vez mais aceite e faz todo o sentido.

Vejamos  estes exemplos:

Euclides pensava que não havia outra geometria. Aquilo parecia a muitos antigos, a essência da realidade. No entanto mudar um dos axiomas mostrou que se podia explicar muito mais coisas.

Newton, ao contrário, deparou-se com uma falha na matematica para explicar o movimento. Criou o calculo diferencial para explicar o que precisava.

Os numeros complexos ou imaginários, foram desenvolvidos a partir da tentativa de resolver equações cubicas. Estava-se sempre a esbarrar no problema das raizes dos numeros negativos. E ganharam esse nome porque mesmo pessoas como Descartes, ao depararem-se com a necessidade desse resultado, o chamaram de imaginário.  De notar que por essa altura, muitos matemáticos viam os numeros negativos com desconfiança até que alguém mostrou que tinham uma explicaçao fisica bem boa. Donde se experimentou dizer que um numero era a raiz quadrada de menos um. Os numeros complexos  começaram a ganhar alguma compreensão quando se mostrou como se podiam integrar na trigonometria mas só foram completamente aceites quando se mostrou serem vectores. Muita física de topo hoje os envolve e são numeros como os outros.

De certo modo, muito na matematica actual é experimentar com axiomas e ver onde nos leva.

E na antiga, fazia-se o mesmo, mas era menos obvio para quem o fazia. Porque havia uma confusão entre a matematica ser a realidade ou não, coisa que hoje se compreende que é mapa.

Havia a ideia de que um triangulo só era compreensivel se existisse algo real, fora da nossa mente, como se fosse um triangulo ideal com que todos os outros eram comparados e identificados. Este idealismo é a causa de enormes atrasos na ciencia e da tendencia para confundir mapa e território.

A ideia de triangulo está nas nossas mentes - uma abstração induzida pela necessidade de usar "triangulos"  - para explicar outras coisas.

A matemática é recriada e experimentada para ver onde é que leva, se se mantem consistente com ela própria, etc.

A nossa mente é moldável. Existe por assim ser. As sinapses são criadas e destruidas conforme são uteis ou não. Conceitos foram criados por tentiva e erro.  Possivelmente como de resto tudo na vida. E ao fim de milénios de evolução, aquilo que foram antes modelos testados empiricamente, herdados e aperfeiçoados pelas gerações face à sua capacidade preditiva, parecem agora tão óbvios que assumimos que são quase realidade, ou verdades auto-suficientes.

Dizemos que 1 e 1 são 2, temos um sistema (aritmética de Peano) onde isso é quase tudo lógico.  Mas ser 1 ou 2 é uma coisa que não existe fisicamente. É antes aplicado para compreender o que se passa fisicamente. No espaço, no tempo, em determinados pressupostos de grupo e identidade, etc.

De resto não há dados sem teorias, nem teorias sem dados. O que sugere que os conceitos foram  induzidos, primeiro simples, cheios de erros e postas à prova até romperem pelas costuras. E vão sendo uns substituidos por outros. Alguns vão para os genes. Já perdemos o fio à meada, quase, de como tudo começou. A matemática parece toda independente da experiencia fisica e até antecedendo esta. Alguns julgam mesmo que o mundo foi criado de acordo com a matemática.

Mas ela existe mesmo para explicar a experiencia fisica, desde tempos imemoriais. É o que é mais plausível.

A matemática tem é o grau mais básico possivel de abstracção de todas as nossas conceptualizações. E isto contando com a lógica, à qual sabemos não poder ser reduzida, como queria Russel. No fundo é o mais simples e manipulavel que conseguimos criar que fosse util.


Assim, o empirismo é necessário a todo o conhecimento cientifico. Inclusivé à matemática. Nem noção de identidade tinhamos se não houvesse indução. Porque a identidade, a = a é uma abstração. O universo esta-se nas tintas para isso, não há coisas que sejam algo. Nós é que precisamos de as identificar para falar delas. E o problema da identidade, algo que parece tão obvio continua em debate até aos dias de hoje. Uns criticando o que não funciona nas definições dos outros.


Sugestão de leitura: "Conversas com um matemático", G. Chaitilin

Para ver como se fazem sistemas matemáticos brincando com os axiomas e além disso passar um bom bocado ler "Godel, Escher and Bach".

Outro post sobre o mesmo assunto: http://ktreta.blogspot.pt/2012/12/uma-nota-sobre-nota-parte-1.html