Lógica paraconsistente e lógica de valores multiplos.

No lógica clássica, as contradições não são toleráveis. Se algo pode ser verdadeiro e falso ao mesmo tempo num determinado sistema, então vale tudo. Os sistemas passam a precisar de ter os seus teoremas como axiomas (algo que se assume à partida que é verdadeiro, em vez de ter de ser provado)  e tornam-se sistemas triviais. Os lógicos chamam a isto, o principio da explosão.

No entanto, a necessidade de encontrar um sistema lógico que fosse capaz de lidar com contradições, nem que fosse pelo facto de diariamente nos esbarrarmos com elas, levou à procura de uma lógica que fosse capaz de lidar com contradições, sem explodir, e de uma maneira discriminatória (que não as ignore pura e simplesmente).

E então, no inicio do século passado surgiu a lógica paraconsistente, que em troca desta virtude, perde a extensão proposicional que existe na lógica clássica. Não é por isso uma extensão viável da lógica clássica.

Por exemplo, é preciso excluir pelo menos um destes 3 princípios, extremamente simples, claros, intuitivos, lógicos...


Introdução da disjunção: Isto é, podemos introduzir disjunções, "ou"s, em provas. Por exemplo, se o "peixe vive no mar" é verdade, também "o peixe vive no mar ou na terra" é verdade  -  se P é verdadeiro também P ou Q é verdadeiro.
Silogismo disjuntivo:  Ou seja, por exemplo em linguagem natural: "Ou os patos amamentam ou os patos são aves". "Os patos não amamentam os seus descendentes", logo "os patos são aves".  -  P ou Q. Não P, logo Q.
Transitividade: Por exemplo em relação ao tamanho: Se A maior que B e B maior que C, então A maior que C.

Normalmente a sorte cai ao silogismo disjuntivo, e de facto se A e nãoA podem ser verdadeiros ao mesmo tempo, então o principio não faz sentido. Argumenta-se que para os programadores de software esta possa não ser a melhor abordagem e sim desistir da introdução da disjunção, porque lhes permitiria continuar com uma série de outras propriedades que eles precisam. Muitas vezes corta-se com ambos.

Existem outras séries de princípios entre os quais temos de fazer cortes, mas para simplificar, como exemplo do que são esses cortes, isto chega. Também serve para ilustrar que lógicas paraconsistentes há muitas e que andamos a fazer experiências para ver o que as coisas dão.

Como é fácil de prever, a lógica paraconsistente tem os seus críticos, embora não deixe de ter as suas utilidades (e alguns sistemas paraconsistentes são muito extensivos, permitindo uma série de inferências comuns).

Concordo com duas criticas: 1 - é muito mais intuitivo e aparentemente, lógico, aceitar o principio da explosão - volta e meia defendo esse mesmo principio contra aqueles que querem que aceitemos contradições - que assim vale tudo.  2 - a negação não pode ter o mesmo significado que tem na lógica convencional. Se aceitamos A e nãoA como verdadeiro, o não tem de ser apenas um operador mais fraco.

Se a negação tiver o mesmo significado que em lógica clássica, em boa verdade  me parece a mim que ou a lógica clássica é lógica, ou a paraconsistente é, mas não as duas. Ou seja, um meta-sistema lógico que abranja as duas tem de ser paraconsistente. Mas para ser paraconsistente não pode aceitar certos princípios da clássica. Adiante:

Há alternativas que sirvam para lidar com os mesmos problemas, nomeadamente de dados contraditórios do mundo empírico e a incerteza? Sim. Lógica de múltiplos valores e inferência bayesiana, lógica intuitiva, teoria de Dempster-Shafter, etc.

A inferencia bayesiana é um metodo de inferencia que usa regras que servem para atribuir probabilidades a uma hipotese (um pecado na estatistica clássica) e fornece um quadro de trabalho matemático onde esse valor é actualizado conforme aumenta a evidencia empirica. É muito importante em ciência.

As lógicas de valores multiplos, são lógicas que não contam apenas com verdadeiro e falso (lógica bivalente). A primeira da lista é a lógica trivalente (verdadeiro, falso e desconhecido). Depois a lógica tetravalente e por aí fora até à lógica  fuzzy (por exemplo muito usada em inteligência artificial) com infinitos valores  entre verdadeiro e falso, e lógica probabilistica.

A lógica de múltiplos valores tem imensas variações e interpretações. Está para além do intento deste "post" entrar nessa área a fundo (até porque tenho muito para estudar sobre isso).

Apenas quero mencionar que serve para exprimir incerteza, e que a  lógica de valores contínuos fuzzy não se deve confundir com logica de probabilidade mas que são matemátivamente similares. É a diferença entre falar de probabilidade de uma coisa acontecer ou do quanto próximo da verdade estará uma afirmação - na lógica fuzzy lidamos com graus de verdade, não probabilidades. Também vale a pena notar que existe extenso debate e criticas sobre estes tipos de lógica.

A verdade mantém-se sempre, no entanto, como algo que é propriedade dos conceitos e não da realidade. Ou seja, a verdade é sobre o conhecimento, não sobre o que as coisas são em  si (as coisas seriam sempre verdade nesse caso, e caso fossem mesmo coisas).

Em resumo, a lógica clássica  é mais bonitinha, mas lida mal com as contradições e incertezas da investigação empirica. E por isso precisamos de umas lógicas um pouco mais "ad-hoc", para casos bicudos.

Curiosamente, os nossos neuronios funcionam com algo mais parecido com lógica fuzzi. Eles aumentam ou diminuem a frequencia de despolarização para enviarem um sinal, embora por vezes só haja duas interpretações possiveis para essas variações.

Bibliografia:

 Vários artigos da wikipédia que fui lendo, andando para trás e para a frente e só sei por onde comecei - Paraconsistent lógic.

Good Math, Bad Math

A filosofia, em boa parte, também é empirica.

Cuidado com as confusões entre mapa e território, e suspeita de provas de existência "à priori" de seja o que for.

Especular sem uma ponte fenoménica algures, vale apenas o conceito, não o conhecimento de existencia.

A matemática é empirica, como toda a ciência.

A matemática é empirica. Não surge do nada das nossas mentes, surge como abstração do mundo empirico. E é o na sua origem e em muitos aspectos do seu desenvolvimento.

E o uso dos axiomas em formulação de sistemas formais variados é posto à prova, experimentando. Conforme funcionam ou não.

Claro que depois, descobrem-se regras que depois podem ser provadas, em teoremas, dentro desses sistemas e recorrendo ao que já se sabe.  Mas repito, isso é dentro desses sistemas, depois de escolhidos os axiomas.

Também no resto da ciencia não temos de continuar sempre a testar se o universo ainda é como era. Esse problema está em stand-by até sugestão em contrário.

E sistemas axiomaticos há infinitos. É realmente a gosto conforme se decide o que vão ser os axiomas. Mas nem todos servem para alguma coisa ou funcionam. Na practica, a matemática é bem empirica.

Isso é cada vez mais aceite e faz todo o sentido.

Vejamos  estes exemplos:

Euclides pensava que não havia outra geometria. Aquilo parecia a muitos antigos, a essência da realidade. No entanto mudar um dos axiomas mostrou que se podia explicar muito mais coisas.

Newton, ao contrário, deparou-se com uma falha na matematica para explicar o movimento. Criou o calculo diferencial para explicar o que precisava.

Os numeros complexos ou imaginários, foram desenvolvidos a partir da tentativa de resolver equações cubicas. Estava-se sempre a esbarrar no problema das raizes dos numeros negativos. E ganharam esse nome porque mesmo pessoas como Descartes, ao depararem-se com a necessidade desse resultado, o chamaram de imaginário.  De notar que por essa altura, muitos matemáticos viam os numeros negativos com desconfiança até que alguém mostrou que tinham uma explicaçao fisica bem boa. Donde se experimentou dizer que um numero era a raiz quadrada de menos um. Os numeros complexos  começaram a ganhar alguma compreensão quando se mostrou como se podiam integrar na trigonometria mas só foram completamente aceites quando se mostrou serem vectores. Muita física de topo hoje os envolve e são numeros como os outros.

De certo modo, muito na matematica actual é experimentar com axiomas e ver onde nos leva.

E na antiga, fazia-se o mesmo, mas era menos obvio para quem o fazia. Porque havia uma confusão entre a matematica ser a realidade ou não, coisa que hoje se compreende que é mapa.

Havia a ideia de que um triangulo só era compreensivel se existisse algo real, fora da nossa mente, como se fosse um triangulo ideal com que todos os outros eram comparados e identificados. Este idealismo é a causa de enormes atrasos na ciencia e da tendencia para confundir mapa e território.

A ideia de triangulo está nas nossas mentes - uma abstração induzida pela necessidade de usar "triangulos"  - para explicar outras coisas.

A matemática é recriada e experimentada para ver onde é que leva, se se mantem consistente com ela própria, etc.

A nossa mente é moldável. Existe por assim ser. As sinapses são criadas e destruidas conforme são uteis ou não. Conceitos foram criados por tentiva e erro.  Possivelmente como de resto tudo na vida. E ao fim de milénios de evolução, aquilo que foram antes modelos testados empiricamente, herdados e aperfeiçoados pelas gerações face à sua capacidade preditiva, parecem agora tão óbvios que assumimos que são quase realidade, ou verdades auto-suficientes.

Dizemos que 1 e 1 são 2, temos um sistema (aritmética de Peano) onde isso é quase tudo lógico.  Mas ser 1 ou 2 é uma coisa que não existe fisicamente. É antes aplicado para compreender o que se passa fisicamente. No espaço, no tempo, em determinados pressupostos de grupo e identidade, etc.

De resto não há dados sem teorias, nem teorias sem dados. O que sugere que os conceitos foram  induzidos, primeiro simples, cheios de erros e postas à prova até romperem pelas costuras. E vão sendo uns substituidos por outros. Alguns vão para os genes. Já perdemos o fio à meada, quase, de como tudo começou. A matemática parece toda independente da experiencia fisica e até antecedendo esta. Alguns julgam mesmo que o mundo foi criado de acordo com a matemática.

Mas ela existe mesmo para explicar a experiencia fisica, desde tempos imemoriais. É o que é mais plausível.

A matemática tem é o grau mais básico possivel de abstracção de todas as nossas conceptualizações. E isto contando com a lógica, à qual sabemos não poder ser reduzida, como queria Russel. No fundo é o mais simples e manipulavel que conseguimos criar que fosse util.


Assim, o empirismo é necessário a todo o conhecimento cientifico. Inclusivé à matemática. Nem noção de identidade tinhamos se não houvesse indução. Porque a identidade, a = a é uma abstração. O universo esta-se nas tintas para isso, não há coisas que sejam algo. Nós é que precisamos de as identificar para falar delas. E o problema da identidade, algo que parece tão obvio continua em debate até aos dias de hoje. Uns criticando o que não funciona nas definições dos outros.


Sugestão de leitura: "Conversas com um matemático", G. Chaitilin

Para ver como se fazem sistemas matemáticos brincando com os axiomas e além disso passar um bom bocado ler "Godel, Escher and Bach".

Outro post sobre o mesmo assunto: http://ktreta.blogspot.pt/2012/12/uma-nota-sobre-nota-parte-1.html

Porque é que eu sou um Empirista.

Tal como a unidade basica do cerebro é o neurónio, unidade básica do pensamento é uma estrutura real chamada sinapse. A sinapse é o espaço e a estrutura de ligação entre dois neurónios. eles comunicam pela libertação de substancias mas ao contrario do senso comum não é um tudo ou nada. Têm frequências de comunicação pelo que o cérebro humano não tem como base zeros e uns. O pensamento e a memoria são possíveis mediante a organização das sinapses formando um circuito (em que o fio são os axónios do neurónio) - e da passagem de informação através desse circuito. No entanto cada neurónio é um pequeno processador por si. Por isso lhe é possível receber inúmeros inputs e ter vários outputs e a coisa funcionar. Esta é a base fisiológica que foi herdada dos nossos pais quando nós nascemos. No entanto, esses neurónios pouco mais sabem que receber e passar sinais e estabelecer ligações. Se um ser humano crescer alimentado a ração numa jaula sem luz, mesmo que o tirem de lá aos 10 anos ele já nunca vai conseguir desenvolver-se como deve. Porque? Porque a plasticidade neuronal diminui com a idade e porque os neurónios não nascem a saber que circuitos tem de ser formados e que circuitos funcionam. Um bebe tem muito mais sinapses que um adulto. Porque a teoria da selecção natural verifica-se entre as sinapses e entre os circuitos. As sinapses que não funcionam "morrem". Adicionalmente alguns circuitos novos vão sendo criados que são então sujeitos à selecção. Um dos processos que leva a "apagar circuitos" é obviamente o desuso mas outro importante pode ser a procura constante do cérebro de poupar energia usando os circuitos mais curtos e mais eficientes. Verifica-se que "experts" em determinadas matérias precisam de gastar menos energia e usar menos neuronios quando estão a trabalhar na sua area de "expertise" que os outros. Adicionalmente, nós não nascemos com um cérebro funcional. A matemática que é a formalização do pensamento humano só é possível porque essas estruturas cerebrais se vão formando com input do meio ambiente. Existe depois uma ligação com o corpo que não interessa agora aprofundar. O processo está longe de ser perfeito como qualquer um de nós reconhecerá num "errar é humano". Mas permitiu a criação de um método, regras e axiomas na matemática que funcionam (confirmação experimental). Não há maneira de dizer isto poucas vezes: A matemática enquanto pensamento humano assenta em sinapses cuja formação precisou de input exterior. A ciência é só a constatação que mais input leva a mais saber. Adicionalmente, alguém pode argumentar com um pouco de razão que existem comportamentos semelhantes ao instinto dos animais e que os temos logo à nascença como o reflexo de moro, de sucção, o medo do escuro, a tendência para acreditar em superstições, etc. Sim existem uma serie de coisas que vem programadas mas são todas dependentes da evolução do cérebro anterior. Não representam na realidade uma parcela significativa da nossa capacidade cognitiva em adulto. A estrutura sim, o cérebro é fruto de uma evolução pré-ontologica. Mas o modo como a informação passa a pertencer ao património genético ao longo da evolução é na selecção natural. A pergunta que se faz à natureza é "quem esta mais apto" e a natureza responde. A mutação não representa o passo em que o código genético "aprendeu". A informação só aumenta de modo sustentado quando a natureza diz quais são as mutações que funcionam. A indução, a matemática, e até a filosofia são os produtos terminais de um longo input da natureza. Da mesma maneira que não há pensadores que tenham crescido em quartos escuros e em silencio alimentados 20 anos no isolamento a pão e agua, não há geração espontânea de cérebros na Terra. Por isso, mesmo o que sabemos à nascença acaba por ter origem empirica.