Estatística bayesiana, pequena introdução

"Cartoon"  retirado do XKCD


Uma ferramenta de indução

É vulgar considerar que testes que resultam em determinados valores de P podem atribuir probabilidades a hipóteses. Por exemplo, o erro de considerar que "P menor que 0,05 quer dizer que temos 95% de probabilidade de ter a nossa hipótese correcta", é muito comum. Mas a estatística frequentista, com os seus valores de P, não pode atribuir probabilidades a hipóteses. De todo.

O que o valor de P representa, é o numero de vezes que teríamos um determinado resultado, num grande numero de repetições, considerando que a hipótese nula é a verdadeira. Não diz nada acerca da probabilidade da hipotese "nao-nula" ou sequer da nula, que na realidade estamos a presumir que é verdadeira - apenas permite rejeitá-la ou aceitá-la (um resultado binário) dentro de determinados parâmetros. Por estas razões, na prática, dá-nos um valor que diz muito pouco acerca de casos particulares. Por esta razão também, leva a que se admitam muitos falsos positivos. Isso acontece ao induzir muitos a aceitar cada teste que rejeita a hipótese nula como suficiente para considerar a probabilidade de uma hipótese como elevada, quando esta é realmente calculada de outra forma, e quando esta é realmente improvável. É tanto mais grave quanto mais improvável for essa hipótese.

A estatística que consegue extrair conclusões dos dados de forma a dar probabilidades a hipóteses particulares é a bayesiana. Esta estatística usa uma probabilidade "à priori" para chegar a uma probabilidade "à posteriori", para um determinado caso, resultando assim numa ferramenta indutiva. Não é, no entanto, muito fácil de conseguir a tal probabilidade "à priori", já que na prática requer grandes quantidades de dados, nem é muito intuitiva inicialmente ou rápida de calcular.

Um exemplo

Stephen Pinker conta no seu livro "How the mind works" que se colocou a 60 alunos da escola de medicina de Harvard a seguinte questão:

"Se um teste para detectar uma doença cuja prevalência é de 1/1000 tem uma taxa de falsos positivos de 5% qual a probabilidade de uma pessoa a quem o teste deu positivo de ter a doença, sendo que não sabemos nada do seu quadro clínico."

Nota: Falso positivo = percentagem de pessoas saudáveis que têm resultado positivo.
Prevalência = proporção de pessoas com a doença numa população.

A resposta mais popular foi 95%. A resposta certa é 2%. Isto em Harvard.

Neste caso precisamos de atribuir uma probabilidade a uma hipótese, por isso precisamos de uma ferramenta que diga algo acerca de uma caso particular extraindo conhecimento de números gerais. Precisamos de estatística bayesiana e aparecerem dados de probabilidade "à priori" na questão, como a prevalência da doença, deveria ter levantado bandeiras vermelhas aos alunos que responderam. Pensando apenas um pouco no assunto, torna-se intuitivo o facto de que se aceitamos que a probabilidade do teste (de 5% para falsos positivos) atribuir 95% de certeza de ser positivo, é porque estamos a postular uma prevalência assustadoramente próxima de 100%. Mas essa é nos  dito que é de 0,1%. Outro problema também é considerar a taxa de falsos positivos como a proporção dos resultados positivos (no conjunto dos positivos) que vêm de pessoas saudáveis em vez de interpretar isso como a proporção de resultados positivos no grupo de pessoas saudáveis.

Então o valor tem de ser calculado assim:

Multiplica-se a prevalência pela sensibilidade do teste (taxa de verdadeiros positivos, presumidamente 1 neste caso), dividindo depois pela incidência de testes positivos. A incidência de testes positivos, ou seja, todos os resultados positivos, quer de pessoas doentes ou não, calcula-se somando os doentes que têm resultado positivo, que são neste caso 1/1000 vezes 1 (presumido) com as saudáveis que têm resultado positivo ou seja 999/1000 x 0,5.

Uma maneira fácil de compreender isto é recorrendo a um quadro. Para facilitar vou repetir todo o quadro conforme preencho passo a passo.

Comecemos por admitir que temos uma população de 100000 pessoas  para visualizar melhor alguns resultados:

	Têm a doença	Não têm a doença	Total
Teste positivo
Teste negativo
Totais			100000

 Dessas 100 são doentes pois sabemos que a prevalência é de um em cada 1000:

	Têm a doença	Não têm a doença	Total
Teste positivo
Teste negativo
Totais	100		100000

Se 100 são doentes em 100000 então é porque 99900 não têm a doença:

	Têm a doença	Não têm a doença	Total
Teste positivo
Teste negativo
Totais	100	99900 (100000 – 100)	100000

 Se 99900 não têm a doença e sabemos que 5% destes vão ter resultado positivo de qualquer maneira então sabemos que as pessoas saudáveis com teste positivo são 4995. Ficamos logo a saber também quantos são os que testam negativo e são saudáveis embora para o momento não nos interesse:

	Têm a doença	Não têm a doença	Total
Teste positivo		4995
Teste negativo		(99900 – 4995) 94905
Totais	100	99900	100000

 Como não nos dizem a percentagem de pessoas que são verdadeiros positivos vamos presumir que o teste tem uma sensibilidade de 100%. Isso quer dizer que todos os doentes são identificados, o que vai colocar 100 pessoas com teste positivo e com a doença. Se somarmos aos positivos que não têm a doença ficamos com o numero total de positivos, a incidência de positivos que é 100 + 4995 = 5095, como se pode ver abaixo:

	Têm a doença	Não têm a doença	Total
Teste positivo	100	4995	5095
Teste negativo	0	94905	94905
Totais	100	99900	100000

Se queremos saber a proporção de positivos verdadeiros entre os positivos todos, que é realmente a resposta à pergunta, então temos:

100/5095 = aproximadamente 0,02 ou 2%.

Conseguimos saber assim a probabilidade de B (ser verdadeiramente positivo, ter a doença) dado A (o teste deu positivo).

Isso escreve-se P(B/A)



Este exemplo, para além de expor como funciona esta estatística, demonstra bem como probabilidades à priori baixas levam a verdadeiras probabilidades baixas, mesmo com testes de qualidade a dar positivo. Os tais 2% contra o valor de  95% que é aferido intuitivamente.

Tem sido argumentado que muito sofrimento poderia ser evitado ao explicar isto convenientemente a pessoas que tiveram testes positivos para doenças raras e/ou feitos com pouca indicação clínica (sem sintomas, factores de risco, etc). Ou seja, quando a probabilidade de ter a doença é pequena, já que testes positivos vão sempre haver.

Notar que nestas condições, e com um teste com boas características, há mais falsos positivos que verdadeiros positivos em numero de pessoas.

Teoria

A formula que Bayes descobriu, (e demonstrou) é:

P(B/A) =         P(B) x P(A/B)

            [P(B)xP(A/B)]+[P(~B)xP(A/~B)]                  (a pedido posso dar a demonstração).

Sendo no exemplo apresentado:

P(A) probabilidade de A

~B  =  "não B"

Neste caso: B = ter a doença; 

~B = não ter a doença

 A = teste positivo.

Outro exemplo

Ao testar repetidamente qualquer coisa cuja hipótese é muito improvável, a estatística frequentista prevê que se vão rejeitar falsamente (face a um numero grande de testes) as hipóteses nulas num numero reduzido desses testes, só por acaso. Pior. Como existe uma tendência para publicar apenas resultados positivos, que rejeitam a hipótese nula, esses resultados vão aparecer ainda mais isolados do que aquilo a que a nossa tendência natural para nos focarmos em resultados positivos nos leva. Por isso temos estudos de homeopatia e outras coisas implausíveis com Ps "bons"  - mas que não significam nada -  muito popularizados pelos crentes. Não significam nada porque para saber a probabilidade de um teste ser um verdadeiro positivo temos de usar o resto das coisas que sabemos que condicionam essa probabilidade. Tal como no exemplo anterior. E tal como no exemplo anterior vamos ter imensos falsos positivos em Ps usuais quando a probabilidade que condiciona a interpretação do nosso teste é baixa.  E no caso da homeopatia,  por exemplo, ciência bastante básica  leva-nos a uma probabilidade à priori muito baixa, o que torna testes singulares e valores de P usuais muito fracos. Afirmações extraordinárias requerem provas extraordinárias, e podemos agora compreender como esta frase é na realidade uma afirmação de matemática bayesiana. Por muito desagradável que esta matemática seja para alguns, a verdade é que para provar a homeopatia precisávamos que todos os ensaios clínicos (e em grande numero) tivessem resultados sempre positivos para valores de P muito mais baixos que 0,05 ou até 0,01. Porque precisávamos que essa evidência fosse tão forte que mostrava que todos os outros testes que formaram os alicerces da ciência estavam errados. No caso da homeopatia a contradição com a ciência começa ao nível da química e acaba ao nível da terapêutica médica. E no entanto, tal como esperado, lá aparecem falsos positivos.

Em conclusão

A estatística bayesiana dá-nos probabilidades para casos particulares, usando tudo o que já se sabe anteriormente. A estatististica frequentista não permite isso, de facto faz um pouco o contrário, ou seja, prevê resultados futuros para muitas repetições dado um teste que temos à frente (é dedutiva). Por isso conforme vamos tendo cada vez mais conhecimento acumulado e melhor capacidade de estabelecer as probabilidades relacionadas com as hipóteses em causa, menos desculpa temos para não usar estatística bayesiana para dar significado ao resultado dos estudos e testes que fazemos.