Sobre o Teorema de Godel

Ou teoremas, uma vez que são dois estreitamente interligados.

Os teoremas da incompletude de Kurt Godel, vêm por um fim dramático à tentativa de unificar a matemática num sistema formal como propôs Hilbert. As consequências na ciência, uma vez que esta assenta fortemente na matemática, nomeadamente a física, podem ser ou significar que não é possível chegar a uma Teoria de Tudo. Em relação à sua aplicação na inteligência humana a discussão também está em aberto. Pode-se especular que tem implicações na avaliação da nossa capacidade de distinguir o que é verdadeiro ou falso. Godel foi o primeiro a falar sobre o tema e concluiu que: “ou a mente não era equivalente a uma maquina finita ou que haveria determinadas equações diofantinas para as quais não era possível encontrar uma solução” (1).

Os teoremas de Godel dizem que é impossível definir um sistema de axiomas completo que seja simultaneamente consistente. Isto é, ou é completo ou é consistente.

Um sistema diz-se completo, se dentro dele, podemos provar qualquer afirmação ou a sua negação a partir dos axiomas. Os axiomas são os alicerces do sistema, são as afirmações iniciais que se consideram evidentes e sem necessidade de prova.
Um sistema diz-se consistente se não podemos provar simultaneamente uma afirmação e a sua negação.

De grosso modo pode exprimir-se o primeiro teorema assim:

Para cada teorema T temos uma afirmação G que diz “esta afirmação não pode ser provada em T.

Se G pode ser provada dentro dos axiomas e regras de T então temos um teorema G que se contradiz a si próprio, pelo que a teoria é inconsistente.
Isto significa que se a teoria é consistente, então não podemos provar G, e assim a afirmação de G acerca de não poder ser provado é correcta. G é verdade mas não pode ser provado. A teoria então é incompleta.

É possivel definir uma teoria maior T' que contenha a totalidade de T mais a afirmação G como um axioma. Contudo, pelo teorema da Godel, então haverá uma nova afirmação G' capaz de mostrar que T' é também incompleta. E então nós podemos definir uma teoria T'' que contenha a totalidade de T' mais a afirmação G'... E assim por aí fora. Haverá sempre uma afirmação godeliana que determina a ultima teoria incompleta.

O segundo teorema pode ser expresso assim:

Para cada teoria T formal que inclua a aritmética e a capacidade de prova, T só é capaz de fazer uma afirmação sobre a sua própria consistência se T for inconsistente.

Ou seja, o sistema só pode dizer que é consistente se na realidade não o for.

O teorema de Godel só se aplica a sistemas formais que sejam capazes de conter a aritmética. Na realidade é possível criar sistemas completos e consistentes desde que estes sejam muito simples.

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Notas e referências:

Foram tomadas muitas liberdades na linguagem e nas explicações para tornar o assunto o mais simples possivel. Penso que mantive o essencial. Espero que tenha aguçado a curiosidade a quem ainda não conhecia o teorema, (este post é só um teaser, há muito mais a dizer). Correcções, críticas e observações são bem vindas.

Se achou o assunto interessante permita-me sugerir também a leitura do livro "Godel, Escher e Bach - laços eternos." ou GEB como é mais conhecido na internet.

(1) Godel, Kurt, 1951, Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications in Solomon Feferman, ed., 1995. Collected works / Kurt Gödel, Vol. III. Oxford University Press: 304-23. (via Wikipédia)